一、引言

       从初中升入高中后，学生可能会感到新接触的知识晦涩难懂，同时其所面对的知识内容体量与初中相比有明显地增加；这就对学生在理解、记忆等方面提出了更高的要求。而梳理初、高中的知识体系，发现两个阶段数学知识之间的联系与差异，将有助于学生理解和学习高中数学知识。

二、初中数学知识框架

       简单梳理初中数学知识体系可以发现，该阶段首先是扩展学生对“数字”和“算式”的认知范围，提出了“实数”、“整式计算”和“分式计算”等一系列概念和方法，为之后的学习打下基础。之后的知识体系主要分为三个部分，分别是“方程、不等式与函数”、“几何图形的认知与拓展”以及“概率与统计初识”，只不过在初中三年的学习中，教材是将这三部分拆分为若干章节交替呈现的。

       其中，“方程、不等式与函数”部分是由“算式”在引入未知量（或变量）后所形成的，主要包含方程（即等式，如：一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程）以及对应的不等式，这两者均可以被看作是“静态表述”，而函数则是研究“变化”关系所产生的，与方程与不等式相比，更偏向于“动态表述”，具体涉及一次函数、二次函数和反比例函数等内容。

       之后则是几何部分，主要包括对线、面的认识，即平行线、相交线、三角形、平行四边形和圆；以及特殊图形的部分性质，如三角形的全等与相似、简单的三角函数数值、勾股定理和图形的轴对称与中心对称等内容；之后则是投影和三视图的基础知识。整体上，几何部分的知识学习过程是从一维向二维，进一步向三维视角逐步演变的过程（点——线——面——体）。

       最后则是“概率与统计”部分，在初中阶段，对这一部分的要求较低，主要是简要介绍统计方面的数据收集和数据整理，其中后者包括数据集的图形化（条形图、饼状图和直方图）和数据集的特征数值（平均数、中位数、众数和方差），以及概率方面的以频率估算概率。

       可见，初中阶段的数学知识大体涉及四个板块，即基础工具板块——“数与算式”，动态与静态表达板块——方程、不等式与函数，平面几何基础，以及统计初步。相应的，高中数学知识体系大体上也是在这一结构和思路上延伸、提升和拓展而产生的。

三、高中数学知识框架

       高中数学的开篇不再是对“数”的扩展与认识，而是引入了“集合”与“逻辑用语”两项内容；尽管内容不同，但知识学习的递进思路是相似的，即在掌握“集合用语”和“逻辑用语”的基础上，更好地理解之后要学习的数学知识，并能用上述“工具”进行严谨的数学表述。

       之后的知识内容不仅涉及“方程、不等式与函数”、“几何（立体几何为主）”、“统计与概率”三大板块，还增加了“复数”、“向量”、“数列”、“导数与积分”和“算法初步”等内容；同时原有三个板块的知识内容体量增加、维度有所提升。

       其中“方程、不等式与函数”板块，函数的研究范围扩大，不仅函数的相关性质增多，而且函数种类也从初中的“低元”或“低次幂”上升到“多元”和“高次幂”，并增加指数函数、对数函数等新的函数；同时对三角函数的理解也不再局限于某几个特征数值，而是从严谨规范的函数角度来理解正弦函数和余弦函数等诸多三角函数。不等式也同样上升到“多元”与“高次”，并增加了基本不等式和线性规划等内容。方程则是和几何图形向结合，从“数字和计算”的视角来看待直线、圆和圆锥曲线，即平面解析几何*。这一板块仍基本保持着“变中有定”、“定能生变”，“动静结合”的特点。

     “几何”板块则主要是从初中阶段“以二维图形为主”转变为“以三维图形为主”的立体几何；主要包括对若干典型几何体的特点和性质（初中阶段则是典型平面图形的性质和定理）、空间视角下的“点、线、面”关系（初中阶段则是平面范围内点、线和特定面图形的关系）以及三视图和投影等相关知识内容。

       之后的“统计与概率”板块则是和初中对应部分相比跨度较大（个人观点），除了复习频数估算频率之外，增加了统计中的相关关系、概率中的诸多概型、离散与连续变量的分布和排列与组合等内容**。尽管内容比较新颖、但该阶段的内容难度并不大，更像是为本科阶段的“概率论”与“数理统计”打基础。

       此外，高中阶段增加了“数列”和“微积分”的相关知识，我认为可以将数列看作是“函数的离散模式”，而高中阶段的“导数与积分”则有助于进一步研究函数特征，同时也为本科阶段的“高等数学”（微积分或数学分析）做铺垫。

       我认为“向量”更像是一种“工具”，用于衔接函数与几何的一种工具。作为矢量，向量不仅具备数值，还具备方向。初中阶段接触到的“向量”应该是函数图像中的直角坐标系，而高中阶段首次接触向量应该是高中物理的物体运动章节的“速度”与“加速度”。平面向量与解析几何存在一定关系，而空间向量则可以运用到立体几何当中。

       最后则是“算法初步”和“复数”，前者为本科计算机相关专业的后续学习做了铺垫，后者则进一步扩展了数系，为之后本科的数学学习奠定了基础。

四、小结

       通过粗略地梳理，我们不难发现，初中到高中的数学知识框架具有一定的继承性。学习思路上，初、高中教材最开始让学生接触的都是“工具性”较强的内容，初中阶段不了解实数，就不可能在二维坐标系下了解函数，也不能进行更为复杂的算式（或方程）运算；高中阶段不了解集合与逻辑用语，就不能理解并运用简洁但略微抽象的数学表达。学习内容上，初、高中阶段均包含“方程、不等式与函数”、“几何”和“概率与统计”这三个板块，并且每个板块都和初中数学知识有些许联系，这也能够帮助初学者更好的度过“过渡阶段”。

       同时，高中阶段的数学知识仍与初中阶段有较大的不同。学习深度上，初中数学更加偏向认识和简单运用，而高中数学则更加注重逻辑性和体系化，要求学生不仅要认识，而且要理解，并能综合运用所学知识。学习广度上，原有三个板块的内容均有所扩充，并且增加了若干新的知识。对应的定义性质和公式定理的数量都有显著的增加，而这些内容都应当在理解的基础上加以记忆，才有可能有效运用。

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